검정의 비교

모집단의 분포가 확률밀도 함수 \(f(x;\theta), \ \theta \in \Omega\)중의 하나인 랜덤표본 \(X_1,...,X_n\)을 활용하여 모수에 대한 가설을 검정해보자. 가장 일반적으로 \(\Omega_0 \cup \Omega_1 = \Omega, \ \Omega_0 \cap \Omega_1 = \emptyset\)이 되도록 귀무모수공간 \(\Omega_0\)와 대립모수공간 \(\Omega_1\)를 분할하여, 귀무가설 \(H_0:\theta \in \Omega_0\) 와 대립가설 \(H_1: \theta \in \Omega_1\)에 대해 유의수준 유의수준 \(\alpha \in (0,1)\)에서 검정할 때, 대립가설의 각 모수 값에서의 검정력을 크게하는 검정이 좋은 검정이다.

검정 \(\phi\)에 대한 모수 \(\theta\)의 검정력을 다음과 같은 함수로 나타내자.

\[\gamma_{\phi}(\theta) := \mathbb{E}_{\theta}[\phi(X)]\]

\(\sup_{\theta \in \Theta_0} \gamma_{\phi}(\theta) = \alpha\)를 만족하는 검정 \(\phi\)를 크기 \(\alpha\) 검정이라고 한다.

\(\sup_{\theta \in \Theta_0} \gamma_{\phi}(\theta) \leq \alpha\)를 만족하는 검정 \(\phi\)를 유의수준 \(\alpha\) 검정이라고 한다. 즉, 크기가 \(\alpha\)인 검정 \(\phi\)는 유의수준 \(\alpha\)검정이다.

전역 최강력 검정

귀무가설 \(H_0:\theta \in \Omega_0\) 와 대립가설 \(H_1: \theta \in \Omega_1\)을 검정할 때 다음을 만족하는 검정 \(\phi^{\text{UMP}}\)를 유의수준 \(\alpha \in (0,1)\)의 전역최강력 검정이라고 한다.

1. 귀무가설 전역에서 유의수준은 \(\alpha\)이하이다. 다시말해서, \(\sup_{\theta \in \Omega_0} \gamma_{\phi^{\text{UMP}}}(\theta) \leq \alpha\)를 만족한다.
2. 대립가설 전역에서 최대의 검정력을 갖는다. 즉, 임의의 귀무가설 전역에서 유의수준 \(\alpha\)이하인 검정 \(\phi\)와 임의의 \(\theta \in \Omega_1\)에 대해 \(\gamma_{\phi}(\theta) \leq \gamma_{\phi^{\text{UMP}}}(\theta)\)를 만족한다.

예를들어, \(\mathcal{N}(\mu,1)\)에서의 랜덤표본을 이용하여 \(H_0:\mu \leq \mu_0 \text{ v.s. } H_1: \mu \geq \mu_0\)를 검정한다고 할 때, 유의수준 \(\alpha\)의 전역최강력 검정을 구해보자.

먼저 더 유도가 쉬운 귀무,대립 모수공간의 원소가 한개인 경우인 \(H_0:\mu = \mu_0 \text{ v.s. } H_1: \mu = \mu_1 (\mu_1\geq \mu_0)\)에서의 전역최강력 검정 \(\phi^{\text{UMP}}\)을 유도한다. 여기서 \(\phi^{\text{UMP}}\)는 \(\{\phi:\gamma_{\phi}(\mu_0) \leq \alpha\}\)에서 가장 큰 검정력을 갖는다. 자연스럽게, 이에 대한 부분 집합 \(\{\phi:\gamma_{\phi}(\mu)\leq \alpha, \forall\mu\leq \mu_1\}\)의 검정들과 비교해도 더 높은 검정력을 갖는다.

따라서 만약 검정력 함수 \(\gamma_{\phi^{\text{UMP}}}(\mu)\)가 \(\mu \leq \mu_0\)에서 증가함수라면, \(\max_{\mu \leq \mu_0} \gamma_{\phi^{\text{UMP}}}(\mu) = \gamma_{\phi^{\text{UMP}}}(\mu_0) \leq \alpha\)를 만족하여 마찬가지로 \(H_0:\mu \leq \mu_0 \text{ v.s. } H_1: \mu \geq \mu_0\)에서도 전역최강력 검정이다.

이제 \(H_0:\mu = \mu_0 \text{ v.s. } H_1: \mu = \mu_1\)에서의 \(\phi^{\text{UMP}}\)를 구해보자. \(X=(X_1,...,X_n)^T\)의 support를 \(\mathcal{X}\)라고 하고, \(\mu\)에 대한 pdf를 \(f(x;\mu)\)라고 하자.

\[f(x;\mu) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp[-\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2 - n(\bar{x}-\mu)^2}{2}]\]

\(\phi^{\text{UMP}}\)는 다음을 만족하는 해이다.

\[\max_{\phi:\mathcal{X} \rightarrow [0,1]} \gamma_{\phi}(\mu_1) \text{ subject to }\gamma_{\phi}(\mu_0) \leq \alpha\]

라그랑주 승수 \(k \geq 0\)를 통한 쌍대문제는 다음과 같다. \(\phi\)는 볼록집합 \([0,1]\)에서 값을 갖고, 검정력함수 또한 \(\phi\)에 대해 선형임으로, 이는 볼록최적화 문제로 strong duality가 성립한다. 즉, 다음의 해가 UMP이기도하다.

\[\begin{align*} &\max_{\phi:\mathcal{X} \rightarrow [0,1]} \gamma_{\phi}(\mu_1) - k(\gamma_{\phi}(\mu_0) -\alpha) \\ &= \max_{\phi:\mathcal{X} \rightarrow [0,1]} \gamma_{\phi}(\mu_1) - k\gamma_{\phi}(\mu_0) \end{align*}\]

최대화해야하는 함수를 pdf를 통해 다시 쓰면 다음과 같다.

\[\begin{align*} \gamma_{\phi}(\theta_1) - k\gamma_{\phi}(\theta_0) &= \mathbb{E}_{\theta_1}[\phi(X)I(f(x;\mu_0)=0)] + \mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X)(\frac{f(x;\mu_1)}{f(x;\mu_0)}-k)] \end{align*}\]

\(\phi\)는 0과 1사이의 값을 갖으므로, 이를 최대화하는 \(\phi^{\text{UMP}}\)는 다음과 같다.

\[\begin{align*} \phi^{\text{UMP}}(x) &= \begin{cases} 1 &\text{ if } f(x;\mu_1) >kf(x;\mu_0) \\ 0 &\text{ if } f(x;\mu_1) <kf(x;\mu_0)\end{cases} \\ &=I[\frac{f(x;\mu_1)}{f(x;\mu_0)}\geq k] \end{align*}\]

Note. 이는 최대가능도비 검정의 기각역의 형태임을 알 수 있다.

이제, 위의 가능도비를 풀어쓰면 다음과 같다.

\[\begin{align*} \frac{f(x;\mu_1)}{f(x;\mu_0)} &= \exp[-\frac{n}{2}\{(\bar{x}-\mu_1)^2 - (\bar{x}-\mu_0)^2\}] \\ &= \exp[-\frac{n}{2}(-2\bar{x}(\mu_1-\mu_0)+\mu_1^2-\mu_0^2)] \\ &= \exp[\frac{n}{2}(\mu_1-\mu_0) (2\bar{x}-\mu_1-\mu_0)] \end{align*}\]

\(\mu_1 \geq \mu_0\)임으로 위 가능도비는 \(\bar{x}\)에 대한 증가함수이다. 즉, \(\bar{x}\)에 대해 \(\phi^{\text{UMP}}\)를 \(I[\bar{X}\geq c]\)로 다시 쓸 수 있다. 이제 유의수준 \(\alpha\)를 만족하도록 다음과 같이 \(c\)를 구한다.

\[\begin{align*} \gamma_{\phi^{\text{UMP}}}(\mu_0) &= \mathbb{E}_{\bar{X} \sim \mathcal{N}(\mu_0, \frac{1}{n})}[I(\bar{X}>c)] \\ &= Pr(Z>\sqrt{n}(c-\mu_0)) = \alpha \\ \therefore c&= \frac{z_{\alpha}}{\sqrt{n}}+\mu_0 \end{align*}\]

Note. 기각역이 대립가설의 모수에 의존하지 않는다.

또한 검정력 함수는 \(\gamma_{\phi^{\text{UMP}}}(\mu) = 1-\Phi(\sqrt{n}(c-\mu))\)로 주어짐으로 \(\mu\)에 대한 증가함수이다. 그러므로, \(H_0:\mu \leq \mu_0 \text{ v.s. } H_1: \mu \geq \mu_0\)에 대한 전역최강력 검정에 대한 기각역은 아래와 같이 주어진다.

\[\sqrt{n}(\bar{X} - \mu_0) \geq z_{\alpha}\]

더 나아가, \(H_0:\mu = \mu_0 \text{ v.s. } H_1: \mu \neq \mu_0\)를 유의수준 \(\alpha\)로 검정할 때 전역 최강력 검정이 존재하지 않음을 알 수 있다. 만약 그러한 검정이 존재한다면, \(\mu_1 < \mu_0 < \mu_2\)를 만족하는 \(\mu_1,\mu_2\)에 대한 대립가설 \((\mu=\mu_1),(\mu=\mu_2)\)에 대해 유의수준 \(\alpha\)의 전역 최강력 검정을 만족해야한다.

즉, 기각역이 \(\bar{X} \leq c_1, \bar{X} \geq c_2\)를 동시에 만족하는 꼴을 가져야 함으로, 이는 모순이다.

네이만-피어슨 보조정리 (단순 가설의 전역 최강력 검정의 존재성)

위의 예시에서 분산이 알려진 정규모집단에 대해 단순 가설 \(H_0:\theta=\theta_0 \text{ v.s. } H_1:\theta = \theta_1\)꼴의 유의수준 \(\alpha\)에 대한 가설검정에 대한 UMP는 다음과 같은 기각역이 주어짐을 보였다.

\[\begin{align*} \phi^{*}(x) &=I[\frac{f(x;\theta_1)}{f(x;\theta_0)}> k] \text{ where } k\geq 0 \text { satisfying }\gamma_{\phi^*}(\theta_0) = \alpha \end{align*}\]

(이산형인 경우, 등호가 성립하는 경우에 대한 고려를 위해 \(0<\gamma<1\)을 사용하여 \(\phi^{*}(x) =I[\frac{f(x;\theta_1)}{f(x;\theta_0)}\geq k]+ \gamma I[\frac{f(x;\theta_1)}{f(x;\theta_0)}\geq k]\)이고, \(\gamma_{\phi^*}(\theta_0)=\alpha\)를 만족하는 검정)

또한, 이를 보이는 과정에서 정규분포에 대한 성질을 사용하지 않았음으로 일반적인 단일 모수를 갖는 \(f(x;\theta)\)에 대해서도 이가 성립함을 보일 수 있다. 사실, 이는 유의수준 \(\alpha\)의 전역최강력검정이기 위한 필요충분 조건이다.

1. 충분조건: \(\phi^*\)는 유의수준 \(\alpha\)의 전역 최강력 검정(UMP)이다.
2. 필요조건: \(\alpha \in (0,1)\)에 대해 \(k>0\)이면서 위를 만족하는 \(\phi^*\)가 존재한다면, 모든 유의수준 \(\alpha\)의 전역 최강력 검정 \(\phi^{\text{UMP}}\)에 대해 \(\gamma_{\phi^{\text{UMP}}}(\theta_0) = \alpha\)를 만족한다. 또한, 모든 유의수준 \(\alpha\)의 전역 최강력 검정 \(\phi^{\text{UMP}}\)는 \(\mathcal{A}=\cup\{A:Pr_{\theta_0}(X\in A) = Pr_{\theta_1}(X\in A)=0\}\)을 제외하고 \(\phi^{\text{UMP}}=\phi^{*}(x)\) 이다. \(\phi^{\text{UMP}}=\phi^{*}(x) \ a.s.\)

연속형인 경우에 대해서만 보여보자.

먼저 충분조건에 대해서 증명해보자. 임의의 유의수준 \(\alpha\)인 검정 \(\phi\)에 대해 다음과 같은 함수를 정의하자.

\[G(\phi) = (\gamma_{\phi^*}(\theta_1) - k\gamma_{\phi^*}(\theta_0))-(\gamma_{\phi}(\theta_1) - k\gamma_{\phi}(\theta_0))\]

만약 \(G(\phi)\geq 0, \ \forall \phi\)를 만족한다면, 다음과 같이 \(\phi^*\)가 유의수준 \(\alpha\)의 전역 최강력 검정이다.

\[\gamma_{\phi^*}(\theta_1) - \gamma_{\phi}(\theta_1) \ge k(\gamma_{\phi^*}(\theta_0) - \gamma_{\phi}(\theta_0)) = k(\alpha-\gamma_{\phi}(\theta_0))\geq0\]

이제 \(G\)가 항상 음이 아님을 보이자.

\[\begin{align*} G(\phi) &= \mathbb{E}_{\theta_1}[(\phi^*-\phi)] - k\mathbb{E}_{\theta_0}[(\phi^*-\phi)] \\ &= \mathbb{E}_{\theta_1}[(\phi^*-\phi)I[f(x;\theta_0)=0]] + \mathbb{E}_{\theta_0}[(\phi^*-\phi)\{\frac{f(x;\theta_1)}{f(x;\theta_0)}-k\}] \end{align*}\]

여기서 첫번째 항은 \(f(x;\theta_0)=0\)이면, 가능도비의 분모가 0이 되기에 \(\phi^*=1\)이 되고, \(0\leq \phi \leq 1\)임으로, 항상 음이 아니다. 또한 두번째 항에 대해서도 가능도비가 \(k\)보다 크면 \((\phi^*-\phi)=(1-\phi)\)로 항상 음이 아니고, 반대는 \(-\phi\)로 항상 양이 아님으로, \(G(\phi)\)는 항상 0보다 크거나 같다.

이제 필요조건에 대해서 보여보자. 임의의 유의수준 \(\alpha\)의 전역 최강력 검정 \(\phi^{\text{UMP}}\)에 대해서도 \(G(\phi^{\text{UMP}}) \geq 0\)을 만족해야 한다. 또한 충분조건에 의해 검정력이 \(\gamma_{\phi^*}(\theta_1) =\gamma_{\phi^{\text{UMP}}}(\theta_1)\) 를 만족해야 함으로 \(k(\alpha -\gamma_{\phi^{\text{UMP}}}(\theta_0))=0\)이어야 하고, 가정에 의해 \(k>0\)임으로 \(\gamma_{\phi^{\text{UMP}}}(\theta_0)=\alpha\)를 만족해야 한다. 즉, \(G(\phi^{\text{UMP}})=0\)이다. 따라서 \(\mathcal{A}\)를 제외하고 다음을 만족해야 한다.

\[\begin{align*} 0 &=\mathbb{E}_{\theta_0}[(\phi^*-\phi^{\text{UMP}})\{\frac{f(x;\theta_1)}{f(x;\theta_0)}-k\}] \end{align*}\]

위가 0이 되려면 피적분함수가 \(\mathcal{A}\)를 제외하고 0이여야 한다. 즉, 가능도비가 \(k\)보다 크면 \(\phi^{\text{UMP}}=1\)을, \(k\)보다 작으면 \(\phi^{\text{UMP}}=0\)을 만족해야 한다.

Note. \(\theta\)에 대한 충분통계량을 \(T(x)\)이고 확률밀도함수가 \(g(t;\theta)\)로 주어진다고 하자. 분해정리에 의해 \(f(x;\theta) = g(t;\theta)h(x)\)가 성립한다. 즉, 위 가능도비 꼴의 검정은 \(g(t;\theta_1)/g(t;\theta_0) > k\)로 충분통계량에 대한 기각역을 활용하여 다시 쓸 수 있다.

Note. 일반적으로 UMP의 존재성을 보이는데에는 위 보조정리의 충분조건을, UMP가 존재하지 않음을 보일 때에는 필요조건을 활용한다.

칼린-루빈 정리 (전역 최강력 한쪽 검정)

\(T \sim g(t;\theta), \theta \in \Omega\)라고 할 때, 임의의 \(\theta_0 < \theta_1\)에 대하여, 다음을 만족하면 모수 \(\theta\)에 대해 단조가능도비(MRT)를 만족한다고 한다.

\[\forall t \in \{t:g(t;\theta_0)>0 \text{ or } g(t;\theta_1)>0 \}, \ \frac{g(t;\theta_1)}{g(t;\theta_0)} \text{ is monotone}\]

Note. 단일 모수 지수족 \(f(x;\theta) = \exp[g(\theta)T(x) - B(\theta) + S(x)\}, \theta \in \Omega \subset \mathbb{R}\)로부터의 랜뎜표본 \(X_1,..,X_n\)에 대하여 \(\theta_0<\theta_1\)를 고정하면 가능도비는 다음과 같다.

\[\frac{f(x;\theta_1)}{f(x;\theta_0)} = \exp[(g(\theta_1)-g(\theta_0))\sum_{i=1}^nT(x_i)-nB(\theta_1)+nB(\theta_0)]\]

즉, \(g(\theta)\)가 단조 증가함수이면, 충분통계량 \(\sum_{i=1}^nT(x_i)\)에 대한 단조 증가함수이다. 즉, 네이만 피어슨 보조정리의 필요조건에 의해 가설 \(H_0:\theta= \theta_0 \text{ v.s. } H_1:\theta = \theta_1\)에 대한 유의수준 \(\alpha\)의 전역최강력 검정은 \(\phi(x)=\sum_{i=1}^nT(x_i) > c\)의 꼴로 주어지며 \(c\)는 \(\gamma_{\phi}(\theta_0)=\alpha\)를 만족한다. 이는 모수 \(\theta_1\)의 값에 관계없이 \(\theta_0\)보다 크기만 하면 성림함으로, 이는 가설 \(H_0:\theta= \theta_0 \text{ v.s. } H_1:\theta > \theta_0\)에 대한 유의수준 \(\alpha\)의 전역최강력 검정이기도 하다.

Note. 만약 \(g(\theta)\)가 단조 감소한다면, 위 가능도비 꼴의 검정은 \(\phi(x)= \sum_{i=1}^nT(x_i)<c\)로 주어지고 이는 가설 \(H_0:\theta= \theta_0 \text{ v.s. } H_1:\theta > \theta_0\)에 대한 유의수준 \(\alpha\)의 전역최강력 검정이다.

가설 \(H_0: \theta \leq \theta_0 \text{ v.s. } H_1: \theta > \theta_0\)을 유의수준 \(\alpha \in(0,1)\)로 검정한다고 하자. \(T\)를 \(\theta \in \Omega\)에 대한 충분통계량이라고 하고, \(T\)의 확률밀도함수가 모수 \(\theta\)에 대한 함수 \(g(t;\theta)\)로 나타낼 수 있고, \(\theta\)에 대해 단조 우도비(MLR)을 갖는다고 하자. 이 때 다음을 만족하는 검정 \(\phi^*\)는 유의수준 \(\alpha\)의 전역 최강력 검정(UMP)이다.

\[\phi^*(t) = I[t>c] \text{ where } \gamma_{\phi^*}(\theta_0) = \alpha\]

증명은 네이만-피어슨 보조정리를 사용해 단순가설에서의 UMP 존재성을 보이고 이러한 검정이 가능도비의 단조성에 의해 한쪽검정에서의 UMP이기도 함을 보일것이다.

\(\theta_1 >\theta_0\)을 만족하는 \(\theta_1\)를 하나 고정하면, MRT가정에 의해 \(g(t;\theta_1)/g(t;\theta_0)\)은 \(t\)에 대한 단조함수이다. 다시 말해서 일대일 대응이므로 \(\phi^*\)는 가능도비 검정 꼴로 다시 쓸 수 있다.

만약 \(T\)의 가능도비가 \(t\)에 대해 단조증가한다면, 다음과 같이 가능도비꼴의 검정과 동치이다.

\[(t'>c) \Leftrightarrow (\frac{g(t';\theta_1)}{g(t';\theta_0) } >k') \text{ where } \inf_{t > c}\frac{g(t;\theta_1)}{g(t;\theta_0) }\]

가능도비가 단조감소할 경우에는 \(-T\)를 이용하여, 위와 같이 만들 수 있다.

따라서, 네이만-피어슨 보조정리에 의해 단순가설 \(H_0:\theta=\theta_0 \text{ v.s. } H_1:\theta =\theta_1\)의 유의 수준 \(\alpha\)에 대한 전역최강력 검정이다. 또한, \(\phi^*\)는 \(\theta_1\)에 의존하지 않기에, 이는 \(H_0:\theta=\theta_0 \text{ v.s. } H_1:\theta >\theta_0\)에 대한 전역 최강력 검정이다.

Remark. \(\theta_1\)은 기각역의 방향만을 알려준다. 즉, \(\theta_1 < \theta_0\)이었다면, UMP는 \(t<c\)의 꼴로 주어질 것이다. 더 나아가, \(H_0:\theta=\theta_0 \text{ v.s. } H_1:\theta \neq\theta_0\)에 대한 전역 최강력 검정이기도 할까? 만약 그러한 검정 \(\phi^*\)가 존재한다면, 이는 \(\theta_1 < \theta_0 < \theta_2\)에 대해 단순가설 \(H_0:\theta=\theta_0 \text{ v.s. } H_1:\theta =\theta_1, \ H_0:\theta=\theta_0 \text{ v.s. } H_1:\theta =\theta_2\) 각각에 대해서도 UMP여야 한다. 네이만-피어슨 보조정리의 필요조건에 의하면, 각각의 단순가설의 기각역은 \((t<c_1), (t>c_2)\)꼴이어야 하고, 이 둘을 만족하는것은 불가능함으로 UMP는 존재하지 않는다.

한편 이러한 \(\phi^*\)에 대한 검정력 함수 \(\gamma_{\phi^*}(\theta)\)가 \(\theta\)에 대한 단조증가함수임을 밝히면, \(\sup_{\theta \leq \theta_0} \gamma_{\phi^*}(\theta) = \gamma_{\phi^*}(\theta_0)=\alpha\)를 만족함으로 \(H_0:\theta \leq \theta_0\)에 대한 유의 수준 \(\alpha\)인 검정을 만족한다.

또한 검정력을 비교하는 검정 집합이 \(H_0:\theta = \theta_0\)인 가설이 \(H_0:\theta \leq \theta_0\)를 포함한다.

\[\{ \phi: \sup_{\theta \leq \theta_0} \gamma_{\phi}(\theta) \leq \alpha \} \subset \{\phi:\gamma_{\phi}(\theta_0)\leq \alpha\}\]

그러므로, 가설 \(H_0: \theta \leq \theta_0 \text{ v.s. } H_1: \theta > \theta_0\)을 검정할 때에도 유의수준 \(\alpha\)의 전역 최강력 검정이다.

이제 \(\gamma_{\phi^*}(\theta)\)가 단조증가함수임을 보이자. 임의의 \(\theta' < \theta{''}\)를 하나 정하여, 가설 \(H_0:\theta=\theta^{'} \text{ v.s. } H_1:\theta =\theta^{''}\)에 대한 유의 수준 \(\alpha' = \gamma_{\phi^*}(\theta')\)에 대한 UMP를 \(\phi^{\text{UMP}}*{\alpha^{'}}\)라고 하자. 네이만 피어슨 보조정리의 필요조건에 의해 \(\gamma*{\phi^{\text{UMP}}*{\alpha^{'}}}(\theta^{'}) = \alpha' = \gamma*{\phi^*}(\theta')\)임으로, \(\cup\{A:\int_{A}g(t;\theta^{'})=0 \text{ or }\int_{A}g(t;\theta^{''})=0 \}\)를 제외하고 검정 \(\phi^*\)와 일치한다.

한편, 랜덤표본과 독립으로 항상 \(\alpha'\)의 확률로 기각하는 검정을 \(\phi^{'}\)라고 하면, 이또한 유의수준 \(\alpha'\) 검정이며, 검정력은 \(\alpha'\)이기에, \(\alpha ' \leq \gamma_{\phi^{\text{UMP}}_{\alpha^{'}}}(\theta^{''})\)를 만족한다. 따라서 다음이 성립한다.

\[\gamma_{\phi^*}(\theta')= \alpha'\leq \gamma_{\phi^{\text{UMP}}_{\alpha^{'}}}(\theta^{''})=\gamma_{\phi^*}(\theta^{''})\]

즉, \(\gamma_{\phi^*}(\theta)\)는 \(\theta\)에 대한 단조증가함수이다.

균등분포에서의 양쪽검정에 대한 UMP 존재성

\(U[0,\theta]\)으로부터의 랜덤표본을 통해 $H_0:\theta=\theta_0 \text{ v.s. } H_1: \theta \neq \theta_0$에 대한 유의수준 $\alpha\in(0,1)$의 검정을 고려해보자.

먼저, $\theta_1 < \theta_0 < \theta_2$을 만족하는 $(\theta_1,\theta_2)$를 고정하여, 각각의 단순가설에 대한 UMP의 형태를 알아보자.

$H_1:\theta = \theta_1$의 단순 가설의 경우, 가능도비는 다음과 같이 주어진다.

\[(\frac{\theta_0}{\theta_1})^n \cdot \frac{I[x_{(n)} \leq \theta_1]}{I[x_{(n)} \leq \theta_0]} = \begin{cases} (\frac{\theta_0}{\theta_1})^n &\text{if } x_{(n)} \leq \theta_1 \\ 0 &\text{if } x_{(n)} > \theta_1 \end{cases} \text{ where } x_{(1)} \leq ... \leq x_{(n)}\]

즉, 네이만 피어슨 보조정리의 필요조건에 의해 UMP는 $X_{(n)} \leq c$의 꼴의 기각역이 주어지며, 다음을 만족해야 한다.

\[Pr_{\theta_0}[X_{(n)} \leq c] = (\frac{c}{\theta_0})^n = \alpha\]

즉, $\phi^*(x) = I[x_{(n)} \leq \alpha^{1/n}\theta_0]$은 해당 단순가설에 대한 UMP이다. 또한, 이에 대한 검정력은 $\theta_1$에 의존하지 않음으로, $H_1: \theta < \theta_0$에 대한 검정의 UMP이기도 하다.

$H_1:\theta = \theta_2$의 단순 가설의 경우, 가능도비는 다음과 같이 주어진다.

\[(\frac{\theta_0}{\theta_2})^n \cdot \frac{I[x_{(n)} \leq \theta_2]}{I[x_{(n)} \leq \theta_0]} = \begin{cases} (\frac{\theta_0}{\theta_2})^n &\text{if } x_{(n)} \leq \theta_0 \\ \infty &\text{if } \theta_0 < x_{(n)} \leq \theta_2 \\ 0 &\text{if } x_{(n)} > \theta_2 \end{cases} \text{ where } x_{(1)} \leq ... \leq x_{(n)}\]

이 경우, 검정 $\phi^{*}(x)$는 마찬가지로 유의수준 $\alpha$ 검정이며 \(\phi^{**}(x) = I[x_{(n)} \leq \alpha^{1/n}\theta_0 \text{ or } x_{(n)} > \theta_0]\) 또한 마찬가지이다. $\gamma_{\phi^{**}}(\theta)$는 $\theta>\theta_0$에서 $Pr_{\theta}[X_{(n)} > \theta_0]$만큼이 더해지기에 검정력의 향상이 있다.

\[\begin{align*} \gamma_{\phi^{**}}(\theta) &= Pr_{\theta}[X_{(n)} \leq \alpha^{1/n}\theta_0] + Pr_{\theta_2}[X_{(n)} > \theta_0] \\ &= \alpha (\frac{\theta_0}{\theta})^n + 1 - (\frac{\theta_0}{\theta})^n, \ \forall \theta > \theta_0 \end{align*}\]

더 나아가 \(\phi^{**}\)는 가설 \(H_1:\theta < \theta_0\)에서는 \(\gamma_{\phi^{**}} =\gamma_{\phi^*}\)이기에 대립가설 $H_0:\theta <\theta_0$에 대한 UMP이다.

이제 대립가설 $H_1: \theta = \theta_2$에서 유의수준 $\alpha$를 만족하는 임의의 검정 $\phi$에 대해 다음이 성립한다.

\[\begin{align*} \gamma_{\phi}(\theta_2) &= \mathbb{E}_{\theta_2}[\phi(X)] \\ &= \mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X)\frac{pdf_{X_{(n)}}(x;\theta_2)}{pdf_{X_{(n)}}(x;\theta_0)}] + \mathbb{E}_{\theta_2}[\phi(X)I[pdf_{X(n)}(x;\theta_0)=0] ]\\ &= \mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X) (\frac{\theta_0}{\theta_2})^nI[X_{(n)} \leq \theta_0] ]+ \mathbb{E}_{\theta_2}[\phi(X)I[\theta_0 <X_{(n)} \leq \theta_2]] \\ &\leq \mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X) (\frac{\theta_0}{\theta_2})^n] +\mathbb{E}_{\theta_2}[I[\theta_0 <X_{(n)} \leq \theta_2]] \\ &= \alpha (\frac{\theta_0}{\theta_2})^n +Pr_{\theta_2}[X_{(n)} > \theta_0] = \gamma_{\phi^{**}}(\theta_2) \end{align*}\]

즉, $\phi^{**}$는 대립가설 $H_1: \theta = \theta_2$에서 유의수준 $\alpha$ 검정에 대한 UMP이고, 이에 대한 검정력은 $\theta_2$에 의존하지 않으므로, 대립가설 $H_0:\theta >\theta_0$에 대한 UMP이다.

그러므로, $\phi^{**}$는 양쪽 검정에 대한 UMP이다.

전역 최강력 불편검정

단일 모수 지수족 \(f(x;\theta) = \exp[g(\theta)T(x)-A(\theta)+B(x)]\)으로부터의 \(n\)개의 랜덤표본을 고려하자. 여기서 \(g(\theta)\)는 증가함수이고, 미분가능하다고 하자.

양쪽검정에 전역최걍력 검정이 존재하지 않는 경우, 대안으로 유의수준 \(\alpha\)인 양쪽 검정에서 가능한 검정의 종류를 다음을 만족하는 검정으로 제한한다.

\[\gamma_{\phi}(\theta_0) = \alpha, \ \frac{\partial}{\partial\theta}\gamma_{\phi}(\theta)\mid_{\theta=\theta_0}=0\]

즉, 유의수준은 \(\alpha\)이면서 귀무가설 \(\theta =\theta_0\)에서 검정력 함수는 국소적 최솟값을 갖는다. 이를 만족하는 검정을 유의수준 \(\alpha\)의 불편검정이라고 하며, 이러한 불편 검정중에 대립가설 하의 검정력을 가장 크게 하는 검정을 유의수준 \(\alpha\)의 전역최강력 불편검정(UMPU)라고 한다.

단일 모수 지수족에서 UMPU의 기각역의 꼴은 다음과 같이 주어진다.

\[\sum_{i=1}^nT(x_i)<c_1 \text{ or } \sum_{i=1}^nT(x_i)>c_2\]

이는 다음과 같이 보일 수 있다.

상수 \(\theta_1 \neq \theta_0,k_1,k_2\)을 고정하여 다음의 최적화 문제를 고려한다.

\[\begin{align*} g(\phi;\theta_1,k_1,k_2)&=\gamma_{\phi}(\theta_1) - k_1\gamma_{\phi}(\theta_0) -k_2 \gamma'_{\phi}(\theta_0)\\ &= \mathbb{E}_{\theta_0}[\phi(X)\{\frac{f(x;\theta_1)}{f(x;\theta_0)}-k_1-k_2\frac{f'(x;\theta_0)}{f(x;\theta_0)}\}] \end{align*}\]

이를 최대화 하는 \(\phi^* = I[f(x;\theta_1)/f(x;\theta_0)\geq k_1 +k_2f'(x;\theta_0)/f(x;\theta_0)]\)이 유의수준 \(\alpha\)의 불편성을 만족하도록 \(k_1,k_2\)를 정한다. 제약조건이 2개임으로 이는 유일하게 결정된다.

즉, 임의의 \(\phi\)에 대해 \(g(\phi^*)\geq g(\phi)\)임으로 다음의 부등식이 성립한다.

\[\gamma_{\phi^*}(\theta_1) - \gamma_{\phi}(\theta_1) \geq k_1(\alpha - \gamma_{\phi}(\theta_0)) + k_2 \gamma'_{\phi}(\theta_0)\]

즉, \(\phi^*\)는 \(\gamma_{\phi}(\theta_0) = \alpha, \ \frac{\partial}{\partial\theta}\gamma_{\phi}(\theta)\mid_{\theta=\theta_0}=0\)를 만족하는 \(\phi\)에 대해 \(\theta_1\)에서 가장 큰 검정력을 갖는다. 이제 \(\phi^*\)에 단일모수지수족을 대입하여 \(T(X_i)\)에 관한 항만 확인하면 다음과 같다.

\[\begin{align*} \frac{f(x;\theta_1)}{f(x;\theta_0)} &= \exp[(g(\theta_1)-g(\theta_0))\sum_{i=1}^nT(x_i) +C_1] \\ \frac{f'(x;\theta_0)}{f(x;\theta_0)} &= g'(\theta_0)\sum_{i=1}^nT(x_i)+C_2 \end{align*}\]

\(g(\theta)\)는 증가함수임을 가정하였음으로, 기각역은 다음과 같은 꼴이다.

\[\exp(a\sum_{i=1}^n T(x_i)) - b + c\sum_{i=1}^nT(x_i) \geq 0 \text{ where } a \neq 0\]

좌변에 대해 \(T=\sum_{i=1}^nT(x_i)\)에 대한 이계도 함수는 \(a^2\exp(aT) >0\)로 볼록함수 꼴이므로 \(c_1 < c_2\)에 대해 \(\sum_{i=1}^nT(x_i) \leq c_1\) 또는 \(\sum_{i=1}^nT(x_i) \geq c_2\) 꼴의 기각역을 갖고, 이는 \(\theta_1\)에 의존하지 않는다.

따라서, UMPU \(\phi^{\text{UMPU}}\)는 다음과 같이 주어진다.

\[\begin{align*} \phi^{\text{UMPU}}(x) &= I[\sum_{i=1}^nT(x_i) \leq c_1 \text{ or } \sum_{i=1}^nT(x_i) \geq c_2 ] \text{ where } c_1,c_2 \text{ satisfy } \\ &\gamma_{\phi^{\text{UMPU}}}(\theta_0)=\alpha, \ \frac{\partial}{\partial \theta}\gamma_{\phi^{\text{UMPU}}}(\theta)\mid_{\theta=\theta_0}=0 \end{align*}\]

비모수적 검정

모집단의 분포가 확률밀도 함수 \(f(x;\theta), \ \theta \in \Omega\)중의 하나인 랜덤표본 \(X_1,...,X_n\)을 활용하여 모수에 대한 가설에서 \(f(x;\theta)\)를 특정한 형태를 가정하지 않고 검정을 수행해볼 수 있다.

여기서는 위치모수 모형으로 확률밀도함수가 모수 \(\theta\)에 대해 대칭이고 누적확률밀도함수 \(F\)가 순증가함수인 확률모형에 대한 위치모수 \(\mu\)의 비모수적 검정을 알아보자.

한쪽 검정에서의 부호 검정

가설 \(H_0:\theta=\theta_0 \text{ v.s. } H_1:\theta > \theta_0\)의 유의수준 \(\alpha \in (0,1)\)에 대한 검정으로 다음의 검정통계량 \(S_n\)을 이용한 검정 \(\phi_S\)를 고려해보자.

\[\begin{align*} S_n &= \sum_{i=1}^nI[X_i-\theta>\theta_0-\theta] \\ &= \sum_{i=1}^nI[Z_i>\theta_0-\theta] \text{ where } Z_i \overset{d}{=}X_i-\theta \\ &= \#\{1\leq i \leq n:Z_i>\theta_0-\theta\} \end{align*}\]

즉, \(Z_i\)는 0에 대해 대칭이고 이의 누적밀도함수를 \(F\)라고 하자. \(S_n\)은 서로 독립인 \(n\)번의 \(\mathbb{E}[I[Z_i>\theta_0-\theta]] = 1-F(\theta_0-\theta)\)의 성공확률을 갖는 베르누이 시행에 대한 성공횟수임으로 \(Bin(n,1-F(\theta_0-\theta))\)를 따른다. 즉, 귀무가설 하에서 \(S_n \sim Bin(n, 1/2)\)를 따른다.

\(\theta_0-\theta <0\)인 대립가설에 대해 \(1-F(-\infty) = 1\)임으로 대립가설에 가까울수록 \(S_n\)은 큰 값을 갖기에, 기각역의 방향은 \(S_n>c\)의 꼴로 주어진다.

따라서, 검정 \(\phi_S\)가 다음을 만족하면 유의수준 \(\alpha\)의 검정이다.

\[\begin{align*} \phi_S &:= I[S_n > c] + \gamma I[S_n=c] \\\text{ where } \gamma_{\phi_S}(\theta_0) &= [\sum_{k=c+1}^n \binom{n}{k} + \gamma \binom{n}{c} ]()^n = \alpha, \ 0<\gamma<1 \end{align*}\]

또한 검정력 함수는 \(Z_i\)에 대한 증가함수임으로, 이는 \(\sup_{\theta\leq \theta_0}\gamma_{\phi_S}(\theta) = \gamma_{\phi_S}(\theta_0)=\alpha\)이다. 즉, \(\phi_S\)는 가설 \(H_0:\theta\leq \theta_0 \text{ v.s. } H_1:\theta > \theta_0\)에 대한 유의수준 \(\alpha \in (0,1)\)에 대한 검정이기도 하다.

Note. 중심극한정리에 의해 \(S_n/n\)은 평균이 \(p(\theta)=1-F(\theta_0-\theta)\)이고, 분산이 \(p(\theta)(1-p(\theta))/n\)인 정규분포로 수렴한다.

\[\frac{S_n-np(\theta)}{\sqrt{np(\theta)(1-p(\theta))}} \overset{d}{\rightarrow} \mathcal{N}(0,1)\]

즉, 충분히 큰 랜덤 표본에서의 검정에 대해 임계값은 \(c \approx z_{\alpha}np(\theta_0) + \sqrt{np(\theta_0)(1-p(\theta_0)}\)으로 근사된다.

한쪽 검정에서의 부호 순위 검정

가설 \(H_0:\theta=\theta_0 \text{ v.s. } H_1:\theta > \theta_0\)의 유의수준 \(\alpha \in (0,1)\)에 대한 검정으로 검정통계량은 귀무가설 하에서 0에 대칭인 \(Z_i \overset{d}{=}X_i-\theta_0\)을 이용하여 다음과 같이 주어진다.

\[\begin{align*} W_n &= \sum_{i=1}^n sgn(Z_i)R(|Z_i|) \text{ where } R(|Z_i|) = \sum_{j=1}^nI[|Z_j| \leq |Z_i|] \\ W_n^+ &= \sum_{i=1}^n I[Z_i>0]R(|Z_i|) \end{align*}\]

위 검정통계량을 이용한 대립가설 \(H_1:\theta>\theta_0\)의 기각역은 \(W_n^+>c^+(W_n>c)\)의 꼴로 주어짐을 알 수 있다.

먼저 \(W_n\)가 귀무가설하에서 어떤 분포를 따르는지 알아보자. $R(|Z_i|)$는 \(Z_i\)을 크기순으로 정렬한 순위임으로 이러한 순위를 \(j\)라고 하면 해당 통계량의 인덱스 \(i\)와의 일대일 매핑인 \(R\)이 존재한다. 부호 부분도 순위 \(j\)를 이용하여 \(W_n\)을 나타내면 \(W_n = \sum_{j=1}^n sgn(Z_{R^{-1}(j)})j\)이다.

또한 귀무가설 하에서 \(Z_i\)는 0을 기준으로 대칭임으로 다음이 성립한다.

\[\begin{align*} Pr_{\theta_0}(|Z_i|\leq x, sgn(Z_i)=1) &= Pr(0\leq Z_i \leq x) \\ &= \frac{1}{2}Pr(|Z_i|\leq x) \\ &= Pr(sgn(Z_i)=1)Pr(|Z_i| \leq x) \end{align*}\]

즉 \((sgn(Z_i))_{i=1}^n\)과 $(|Z_i|)_{i=1}^n$이 독립이다. 따라서 귀무가설 하에서 \((S_{R^{-1}(j)})_{i=1}^n:=(sgn(Z_{R^{-1}(j)}))_{i=1}^n\)에 대해 이러한 독립성과 총확률의 법칙을 사용하면 다음이 성립한다.

\[\begin{align*} Pr_{\theta_0}(S_{R^{-1}(1)} = s_1,..., S_{R^{-1}(n)} = s_n) &= \sum_{\pi \in \Pi} Pr_{\theta_0}(S_{R^{-1}(1)} = s_1,..., S_{R^{-1}(n)} = s_n, R=\pi) \\ &= \sum_{\pi \in \Pi} Pr_{\theta_0}(S_{\pi^{-1}(1)} = s_1,..., S_{\pi^{-1}(n)} = s_n)Pr_{\theta_0}(R=\pi) \\ &= Pr_{\theta_0}(S_{1} = s_1,..., S_{n} = s_n)\sum_{\pi \in \Pi} Pr_{\theta_0}(R=\pi) \\ &= Pr_{\theta_0}(S_1=s_1,...,S_n=s_n) \end{align*}\]

즉, 귀무가설 하에서 \(W_n \overset{d}{=} \sum_{j=1}^N jsgn(Z_j)\)이고 \(sgn(Z_j) \overset{d}{=} S(j), S(j) \overset{\text{i.i.d}}{\sim} U\{-1,1\}\)이 성립한다. 또한 \(W_n^+\)에 대해서는 \(sgn(Z_i) =2I[Z_i>0]-1\)이 성립함으로 부호 부분이 \(U\{0,1\}\) 즉, 성공확률이 1/2인 베르누이 시행이다. 따라서, 귀무가설 하에서 \(W_n, W_n^+\)의 분포는 다음과 같다.

\[\begin{align*} W_n &\overset{d}{=} \sum_{i=1}^njS(j) \text{ where } S(j) \overset{\text{i.i.d}}{\sim} U\{-1,1\} \\ W_n^+ &\overset{d}{=} \sum_{j=1}^njB_j \text{ where } B_j \overset{\text{i.i.d}}{\sim} Ber(\frac{1}{2}) \end{align*}\]

이제 부호검정에서와 같이 검정력함수가 \(X_i\)에 대해 단조증가하여 \(H_0:\theta = \theta_0 \text{ v.s. } H_1:\theta > \theta_0\)에서의 유의 수준 \(\alpha\)의 검정이 가설 \(H_0:\theta \leq \theta_0 \text{ v.s. } H_1:\theta > \theta_0\)의 유의수준 \(\alpha\) 검정이기도 함을 보이자. 먼저 \(W_n^+\)을 사용한 검정을 고려해보자.

검정력이 \(\gamma_{\phi_{W^+}}(\theta) = Pr_{\theta}[W^+_n \geq c]\)임으로, \(\theta\)에 대해 단조증가하기 위해서는 \(W_n^+\)가 \(\theta\)에 대해 단조증가해야한다.

\[\begin{align*} W_n^+&= \sum_{i=1}^n I[Z_i>0]\sum_{j=1}^nI[|Z_j| \leq |Z_i| ]\\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nI[Z_i>0, |Z_j| \leq Z_i] \\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^iI[Z_{(i)}>0, Z_{(i)} +Z_{(j)} >0] \text{ where } Z_{(1)} < ... < Z_{(n)} \\ &= {\sum\sum}_{1 \leq i \leq j \leq n}I[Z_{(i)}+Z_{(j)} > 0] \\ &= {\sum\sum}_{1 \leq i \leq j \leq n}I[Z_{i}+Z_{j} > 0] = {\sum\sum}_{1 \leq i \leq j \leq n}I[X_{i}+X_{j} > 2\theta_0] \end{align*}\]

이는 \(Z_i\)가 연속형 확률변수로 서로 같은 값을 갖지 않을때 성립한다. 한편 \(X_i\)들은 \(\theta\)를 기준으로 대칭인 분포임으로 \(\theta\)가 증가할수록 \(X_i+X_j\)도 증가함으로, \(W_n^+\)는 \(\theta\)에 대해 단조증가한다.

이제 \(W_n\)을 사용한 검정의 검정력 함수 또한 \(\theta\)에 대해 단조증가임을 보이자. 마찬가지로 \(Z_i\)가 연속형으로서 한점인 \((Z_i=0)\)인 경우를 고려하지 않으면 \(W_n\)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\[W_n = W_n^+ - W_n^- \text{ where } W_n^- = \sum_{i=1}^n I[Z_i<0]R(|Z_i|)\]

또한 \(W_n^+ + W_n^-\)은 전체 순위의 합임으로 \(n(n+1)/2\)이다. 즉, \(W_n = 2W_n^+ - n(n+1)/2\)임으로 마찬가지로 \(\theta\)에 대해 단조증가한다. 따라서 검정력인 \(Pr_{\theta}[W_n\geq c]\)또한 \(\theta\)에 대해 단조증가한다.

점근상대효율성 (피트만 효율성)

모수 \(\theta \in \Omega \subset \mathbb{R}\)에 관한 가설 \(H_0:\theta=\theta_0 \text{ v.s. } H_1:\theta > \theta_0\)을 유의수준 \(\alpha\in(0,1)\)에서 검정할 때 크기 \(n\)의 랜덤표본에 기초한 검정 \(\phi_{1n},\phi_{2n}\)의 점근상대효율성을 비교해보자.

1. 각각의 검정에 대한 검정통계량 \(T_{in}(i=1,2)\)에 대해 미분가능하고 연속인 함수 \(\mu_i(\theta),\sigma_i(\theta)\)이 각각 존재하여 각각의 기각역은 \(\sqrt{n}(T_{in} - \mu_i(\theta_{0}))/\sigma_i(\theta_0) \geq t_{in}\)의 꼴로 주어진다.
2. 귀무가설하의 모수 \(\theta_0\)의 근방에서 \(\sqrt{n}(T_{in} - \mu_i(\theta))/\sigma_i(\theta) \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1)\)의 점근 정규성이 성립한다.

여기서 효율성의 비교는 가장 힘든 상황인 귀무가설에 가까운 대립에서 하는 것이 자연스럽다. 표본의 수가 고정된 상태에서 귀무가설 모수에서 대립으로 살짝 벗어났을 때, 검정력이 더 빨리 증가하는 검정이 더 효율이 좋은 검정일 것이다. 따라서, 위 조건은 가장 검정이 어려운 \(\theta_{1n}\)에서의 검정력이 계산 가능하여 비교할 수 있도록 하는 조건이다.

대립가설하의 모수를 \(\theta_{1n} = \theta_0 + \frac{K}{\sqrt{n}}\)이라고 하면, \(\phi_{1n},\phi_{2n}\)는 마찬가지로 단순가설 \(H_0:\theta=\theta_0 \text{ v.s. } H_1:\theta =\theta_{1n}\)의 유의수준 \(\alpha\)인 검정이다. 이러한 단순가설에 대해 목표 검정력 \(\gamma\)를 달성하기 위해 필요한 표본의 수를 \(N(T_{in};\gamma,\theta_{1n})\)이라고 하여, 표본크기의 역수값 \(N^{-1}(T_{1n};\gamma,\theta_{1n})/N^{-1}(T_{2n};\gamma,\theta_{1n})\)을 검정 \(\phi_{1n}\)의 검정 \(\phi_{2n}\)에 대한 점근상대효율성이라고 한다.

또한, 각각의 검정력은 다음과 같이 근사할 수 있다.

\[\begin{align*} \gamma_{\phi_{in}}(\theta_{1n}) &= Pr_{\theta_{1n}}[\sqrt{n}\frac{(T_{in} - \mu_i(\theta_{0}))}{\sigma_i(\theta_0)} \geq t_{in}] \\ &\approx Pr[Z \geq \{t_{in} \sigma_i(\theta_0) + \sqrt{n}(\mu_i(\theta_0)-\mu_i(\theta_{1n}))\}/\sigma_i(\theta_{1n})] \ (\because \sqrt{n}(T_{in} - \mu_i(\theta_{1n}))/\sigma_i(\theta_{1n}) \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1))\\ &= 1- \Phi[z_{\alpha}\frac{\sigma_i(\theta_{0})}{\sigma_i(\theta_{1n})} - \frac{\sqrt{n}(\mu_i(\theta_{1n}) - \mu_i(\theta_0))}{\sigma_i(\theta_{1n})}] \\ &\approx 1- \Phi[z_{\alpha} - \frac{\sqrt{n}(\theta_{1n} - \theta_0)\mu'(\theta_0)}{\sigma_i(\theta_{0})}] \ (\because \mu_i(\theta_{1n})-\mu_i(\theta_0) \approx (\theta_{1n}-\theta_0)\mu'(\theta_0), \ \sigma_i(\theta_{1n})\approx \sigma_i(\theta_{0})) \end{align*}\]

또한 \(\theta_{1n} = \theta_0+\frac{K}{\sqrt{n}}(K>0)\)에서 다음의 수렴성이 성립한다.

\[\frac{\sqrt{n}(\theta_{1n} - \theta_0)\mu'(\theta_0)}{\sigma_i(\theta_{0})} \approx \frac{\sqrt{n}\frac{K}{\sqrt{n}}\mu'(\theta_0)}{\sigma_i(\theta_0)} = \frac{K\mu'(\theta_0)}{\sigma_i(\theta_0)} < \infty\]

따라서 \(\theta_{1n}\)을 통한 단순가설 검정에서 목표 검정력 \(\gamma\)를 달성하기 위해 필요한 표본의 수 \(N(T_{in};\gamma,\theta_{1n})\)에 대한 다음의 근사식이 성립한다.

\[N(T_{in};\gamma,\theta_{1n}) \approx (\frac{(z_{1-\gamma} + z_{\alpha})\sigma_i(\theta_0)}{(\theta_{1n} - \theta_0)\mu'_i(\theta_0)})^2\]

즉 \(\phi_{1n}\)의 \(\phi_{2n}\)에 대한 점근상대 효율성은 다음과 같다.

\[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{N(T_{2n};\gamma,\theta_{1n})}{N(T_{1n};\gamma,\theta_{1n})} =( \frac{\mu_1'(\theta_0)/\sigma_1(\theta_0)}{\mu_2'(\theta_0)/ \sigma_2(\theta_0)})^2\]